Álgebra lineal

Álgebra Lineal

Veamos como se resuelve el problema de autovalores de una matríz de 2x2, sabemos de antemano que los autovalores de esta matriz se encuentran a través de la ecuación cuadrática

Det(A−λI)=0

cuyas raices están dadas por:

λ1,2=Tr(A)2±[Tr(A)]2−4∗Det(A)−−−−−−−−−−−−−−−−−√2

Donde Tra es la traza de la matriz y Det su determinante.
Veamos el algoritmo:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>

int det2(int A[2][2])
{
    return A[0][0]*A[1][1]-A[0][1]*A[1][0];
}

int tra2(int A[2][2])
{
    return A[0][0]+A[1][1];
}

double* autovalores(int A[][2])
{
    static double lambda[2];
    int tra=tra2(A);
    lambda[0]= (tra+sqrt(tra*tra-4*det2(A)))/2;
    lambda[1]= (tra-sqrt(tra*tra-4*det2(A)))/2;

    return lambda;
}


int main()
{
    srand(time(NULL));
    int a[2][2];
    int i,j;
    double *lambda;
    for(i=0;i<2;i++) {
        for(j=0;j<2;j++) {
     a[i][j]=rand()%10-5;
            printf("%d ",a[i][j]);
 }
 printf("\n");
    }

    lambda=autovalores(a);
    printf("Los autovalores son %f y %f\n",lambda[0], lambda[1]);

    return 0;
}

Para evaluar la raiz hemos usado la librería matemática que no se enlaza por defecto cuando vamos a compilar. Esto es, para compilar debemos hacer:

gcc autovalores.c -o autovalores -lm

Pregunta

• ¿Qué consideraciones debemos tener para que el algoritmo soporte complejos?

Existen librerías que realizan estas tareas de manera efectiva y con una implementación relativamente sencilla. Las más comunes en el ámbito científico (y libres) son BLAS(Basic Linear Algebra Subroutines) para C y LAPACK(Linear Algebra PACKage) para frotran. Existen otras pocas no libres como MKL desarrollada por intel.
Veamos un ejemplo de como invertir una matriz con la ayuda de las librerías BLAS y su interfaz con gsl:

#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_linalg.h>

int main ()
{
  double mat[] = { 1, -1, -2,
                   0, 2, 0,
                   -2,1,-1,};
  double inv[9];

  gsl_matrix_view m = gsl_matrix_view_array (mat, 3, 3);
  gsl_matrix_view inverse = gsl_matrix_view_array (inv, 3, 3);
  
  int signum;

  gsl_permutation * p = gsl_permutation_alloc(3);

  printf("Matriz inicial\n");
  gsl_matrix_fprintf (stdout, &m.matrix, "%g");

  gsl_linalg_LU_decomp(&m.matrix, p, &signum);

  printf("Matriz LU\n");
  gsl_matrix_fprintf (stdout, &m.matrix, "%g");

  printf("Matriz LU\n");
  gsl_matrix_fprintf (stdout, &m.matrix, "%g");

  gsl_linalg_LU_invert(&m.matrix, p, &inverse.matrix);

  printf("Inversa\n");
  gsl_matrix_fprintf (stdout, &inverse.matrix, "%g");

  gsl_permutation_free (p);
  return 0;
}

Al igual que cuando invocamos la librería matemática, para obtener el ejecutable debemos enlazar las librerías de gsl haciendo:

$ gcc inversa.c -lgsl -lgslcblas

para mayor información sobre el uso de esta librería nos podemos referir a la documentación de gsl

Ejercicios

• Resuelva el problema Ax=b donde A es uan matriz entera aleatoria y b es un vector entero aleatorio, usando las librerías de gsl.
• Resuelva el problema de autovalores propuesto anteriormente con gsl, se puede basar en la documentación:https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Eigenvalue-and-Eigenvector-Examples.html#Eigenvalue-and-Eigenvector-Examples